微分積分学準備例

$| x - 10 | = x^{2} - 10 x$

ステップ 1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 10 x = | x - 10 |$

ステップ 2

方程式を $| x - 10 | = x^{2} - 10 x$ として書き換えます。

$| x - 10 | = x^{2} - 10 x$

ステップ 3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 10 = \pm (x^{2} - 10 x)$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 10 = x^{2} - 10 x$

ステップ 4.2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 10 x = x - 10$

ステップ 4.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 10 x - x = - 10$

ステップ 4.3.2

$- 10 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 11 x = - 10$

ステップ 4.4

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x^{2} - 11 x + 10 = 0$

ステップ 4.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 11 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $- 11$ です。

$- 10, - 1$

ステップ 4.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 10) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4.7

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 4.7.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 4.8

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4.9

最終解は $(x - 10) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, 1$

ステップ 4.10

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 10 = - (x^{2} - 10 x)$

ステップ 4.11

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- (x^{2} - 10 x) = x - 10$

ステップ 4.12

$- (x^{2} - 10 x)$ を簡約します。

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ステップ 4.12.1

書き換えます。

$0 + 0 - (x^{2} - 10 x) = x - 10$

ステップ 4.12.2

0を加えて簡約します。

$- (x^{2} - 10 x) = x - 10$

ステップ 4.12.3

分配則を当てはめます。

$- x^{2} - (- 10 x) = x - 10$

ステップ 4.12.4

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + 10 x = x - 10$

ステップ 4.13

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.13.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- x^{2} + 10 x - x = - 10$

ステップ 4.13.2

$10 x$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} + 9 x = - 10$

ステップ 4.14

方程式の両辺に $10$ を足します。

$- x^{2} + 9 x + 10 = 0$

ステップ 4.15

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.15.1

$- 1$ を $- x^{2} + 9 x + 10$ で因数分解します。

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ステップ 4.15.1.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 9 x + 10 = 0$

ステップ 4.15.1.2

$- 1$ を $9 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 9 x) + 10 = 0$

ステップ 4.15.1.3

$10$ を $- 1 (- 10)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

ステップ 4.15.1.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 9 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 10 = 0$

ステップ 4.15.1.5

$- 1$ を $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 10)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 9 x - 10) = 0$

ステップ 4.15.2

因数分解。

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ステップ 4.15.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.15.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 9$ です。

$- 10, 1$

ステップ 4.15.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 10) (x + 1)) = 0$

ステップ 4.15.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 10) (x + 1) = 0$

ステップ 4.16

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.17

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.17.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 4.17.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 4.18

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.18.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.18.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.19

最終解は $- (x - 10) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 1$

ステップ 4.20

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 10, 1, - 1$

ステップ 5

$| x - 10 | = x^{2} - 10 x$ が真にならない解を除外します。

$x = 10, - 1$

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