微分積分学準備例

$\cot (x) \cos^{2} (x) = 2 \cot (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 \cot (x)$ を引きます。

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\cos^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2.1.2.2

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 2.1.2.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2.1.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 2.1.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.1.4

$- 2$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.2.2

分数を分解します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.2.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.2.4

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 2.2.5

分数を分解します。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = 0$

ステップ 2.2.6

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (\frac{2}{1} \cdot \cot (x)) = 0$

ステップ 2.2.7

$2$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - (2 \cot (x)) = 0$

ステップ 2.2.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 3

$\cot (x)$ を $\cos^{2} (x) \cot (x) - 2 \cot (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\cot (x)$ を $\cos^{2} (x) \cot (x)$ で因数分解します。

$\cot (x) \cos^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

ステップ 3.2

$\cot (x)$ を $- 2 \cot (x)$ で因数分解します。

$\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 3.3

$\cot (x)$ を $\cot (x) \cos^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 2$ で因数分解します。

$\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) = 0$

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

ステップ 5

$\cot (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cot (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cot (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos^{2} (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos^{2} (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\cos^{2} (x) - 2 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos^{2} (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\cos^{2} (x) = 2$

ステップ 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{2}$

ステップ 6.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \sqrt{2}$

ステップ 6.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

ステップ 6.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6.2.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \sqrt{2}$

ステップ 6.2.5

$\cos (x) = \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.2.5.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $\sqrt{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 6.2.6

$\cos (x) = - \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.2.6.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \sqrt{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

最終解は $\cot (x) (\cos^{2} (x) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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