微分積分学準備例

$\tan (2 x) - \sqrt{3} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$2 x = \frac{π}{3}$

ステップ 4

$2 x = \frac{π}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 x = \frac{π}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$2 x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.1.2

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 6.1.4

$π \cdot 3$ と $π$ をたし算します。

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ステップ 6.1.4.1

$π$ と $3$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 6.1.4.2

$3 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

ステップ 6.2

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.2.1

$2$ を $4 \cdot π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2 \cdot π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 7

$\tan (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 2 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8

$\tan (2 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例