微分積分学準備例

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{4}$

ステップ 3.2

$\frac{π}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

ステップ 3.3

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.4.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.4.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.4.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

ステップ 3.6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{12}$

ステップ 3.6.3

$2 π$ と $3 π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

ステップ 4

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

ステップ 5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

ステップ 5.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.1.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 7.1.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.2

$\frac{5 π}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.3

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.4.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.4.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.4.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

ステップ 7.2.4.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

ステップ 7.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

ステップ 7.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.6.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + π \cdot 3}{12}$

ステップ 7.2.6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + 3 \cdot π}{12}$

ステップ 7.2.6.3

$10 π$ と $3 π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

ステップ 7.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

ステップ 7.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

ステップ 7.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

ステップ 7.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

ステップ 7.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.4.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{13 π}{6}$

ステップ 8

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 9

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + 4 π n, \frac{13 π}{6} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

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