微分積分学準備例

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$3 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

ステップ 4.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$48 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

ステップ 4.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$48 - 10 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

ステップ 4.1.4

$- 10$ に $8$ をかけます。

$48 - 80 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

ステップ 4.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$48 - 80 - 9 \cdot 4 + 40 (2) - 12$

ステップ 4.1.6

$- 9$ に $4$ をかけます。

$48 - 80 - 36 + 40 (2) - 12$

ステップ 4.1.7

$40$ に $2$ をかけます。

$48 - 80 - 36 + 80 - 12$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$48$ から $80$ を引きます。

$- 32 - 36 + 80 - 12$

ステップ 4.2.2

$- 32$ から $36$ を引きます。

$- 68 + 80 - 12$

ステップ 4.2.3

$- 68$ と $80$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 4.2.4

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

ステップ 6.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

	$3$

ステップ 6.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(- 10)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$	$- 4$

ステップ 6.5

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 8)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$	$- 17$

ステップ 6.7

結果 $(- 17)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 34)$ の結果を被除数 $(40)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

ステップ 6.9

結果 $(6)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(12)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 17) x + 6$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

有理根検定を用いて $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

ステップ 7.1.1.3

$0.\overline{3}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.\overline{3}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$0.\overline{3}$ を多項式に代入します。

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

ステップ 7.1.1.3.2

$0.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot 0.\overline{037} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

ステップ 7.1.1.3.3

$3$ に $0.\overline{037}$ をかけます。

$0.\overline{1} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

ステップ 7.1.1.3.4

$0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$0.\overline{1} - 4 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

ステップ 7.1.1.3.5

$- 4$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$0.\overline{1} - 0.\overline{4} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

ステップ 7.1.1.3.6

$0.\overline{1}$ から $0.\overline{4}$ を引きます。

$- 0.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

ステップ 7.1.1.3.7

$- 17$ に $0.\overline{3}$ をかけます。

$- 0.\overline{3} - 5.\overline{6} + 6$

ステップ 7.1.1.3.8

$- 0.\overline{3}$ から $5.\overline{6}$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 7.1.1.3.9

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.1.4

$0.\overline{3}$ は既知の根なので、多項式を $3 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6}{3 x - 1}$

ステップ 7.1.1.5

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ を $3 x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$6$

ステップ 7.1.1.5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$

ステップ 7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 7.1.1.5.7

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

ステップ 7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

ステップ 7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$

ステップ 7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

ステップ 7.1.1.5.12

被除数 $- 18 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

ステップ 7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

ステップ 7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 18 x + 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

ステップ 7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

ステップ 7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - x - 6$

ステップ 7.1.1.6

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 7.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 7.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(3 x - 1) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

ステップ 7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 7.3

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 7.3.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 7.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7.6

最終解は $(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, 3, - 2$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 2) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 2)$

ステップ 9

多項式 $3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$ の根（0）です。

$x = 2, \frac{1}{3}, 3, - 2$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例