微分積分学準備例

$2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm 45, \pm \frac{45}{2}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(- 1)}^{4} - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$2 \cdot 1 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 17 {(- 1)}^{3} + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$2 - 17 \cdot - 1 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4.1.4

$- 17$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 17 + 35 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 + 17 + 35 \cdot 1 + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4.1.6

$35$ に $1$ をかけます。

$2 + 17 + 35 + 9 (- 1) - 45$

ステップ 4.1.7

$9$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 17 + 35 - 9 - 45$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ と $17$ をたし算します。

$19 + 35 - 9 - 45$

ステップ 4.2.2

$19$ と $35$ をたし算します。

$54 - 9 - 45$

ステップ 4.2.3

$54$ から $9$ を引きます。

$45 - 45$

ステップ 4.2.4

$45$ から $45$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(- 17)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$
	$2$	$- 19$

ステップ 6.5

結果 $(- 19)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(19)$ の結果を被除数 $(35)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$
	$2$	$- 19$	$54$

ステップ 6.7

結果 $(54)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 54)$ の結果を被除数 $(9)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

ステップ 6.9

結果 $(- 45)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(45)$ の結果を被除数 $(- 45)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$2$	$- 17$	$35$	$9$	$- 45$
		$- 2$	$19$	$- 54$	$45$
	$2$	$- 19$	$54$	$- 45$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{3} + - 19 x^{2} + (54) x - 45$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

有理根検定を用いて $2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

ステップ 7.1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$2 \cdot 3^{3} - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

ステップ 7.1.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 27 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

ステップ 7.1.1.3.3

$2$ に $27$ をかけます。

$54 - 19 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 45$

ステップ 7.1.1.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$54 - 19 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 45$

ステップ 7.1.1.3.5

$- 19$ に $9$ をかけます。

$54 - 171 + 54 \cdot 3 - 45$

ステップ 7.1.1.3.6

$54$ から $171$ を引きます。

$- 117 + 54 \cdot 3 - 45$

ステップ 7.1.1.3.7

$54$ に $3$ をかけます。

$- 117 + 162 - 45$

ステップ 7.1.1.3.8

$- 117$ と $162$ をたし算します。

$45 - 45$

ステップ 7.1.1.3.9

$45$ から $45$ を引きます。

$0$

ステップ 7.1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45}{x - 3}$

ステップ 7.1.1.5

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ を $x - 3$ で割ります。

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ステップ 7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$19 x^{2}$

$54 x$

$45$

ステップ 7.1.1.5.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$

ステップ 7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - 6 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

ステップ 7.1.1.5.7

被除数 $- 13 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$

ステップ 7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$39 x$

ステップ 7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 13 x^{2} + 39 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$

ステップ 7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$

ステップ 7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

ステップ 7.1.1.5.12

被除数 $15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$

ステップ 7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

ステップ 7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $15 x - 45$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	+	$15$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$54 x$	-	$45$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$54 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$39 x$
							+	$15 x$	-	$45$
							-	$15 x$	+	$45$
										$0$

ステップ 7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} - 13 x + 15$

ステップ 7.1.1.6

$2 x^{3} - 19 x^{2} + 54 x - 45$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

ステップ 7.1.2

群による因数分解。

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ステップ 7.1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.2.1.1.1

$- 13$ を $- 13 x$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0$

ステップ 7.1.2.1.1.2

$- 13$ を $- 3$ プラス $- 10$ に書き換える

$(x - 3) (2 x^{2} + (- 3 - 10) x + 15) = 0$

ステップ 7.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15) = 0$

ステップ 7.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 3) ((2 x^{2} - 3 x) - 10 x + 15) = 0$

ステップ 7.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 3) (x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

ステップ 7.1.2.1.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 3) ((2 x - 3) (x - 5)) = 0$

ステップ 7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 7.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.4

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 7.4.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 7.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 7.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7.6

最終解は $(x - 3) (2 x - 3) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, \frac{3}{2}, 5$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 1) (x - 3) (x - \frac{3}{2}) (x - 5)$

ステップ 9

多項式 $2 x^{4} - 17 x^{3} + 35 x^{2} + 9 x - 45$ の根（0）です。

$x = - 1, 3, \frac{3}{2}, 5$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例