微分積分学準備例

$x^{3} - 36 x > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 36 x = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} - 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 36) = 0$

ステップ 2.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

ステップ 2.3

因数分解。

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ステップ 2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

ステップ 2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 6

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 7

最終解は $x (x + 6) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 6, 6$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 224$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.2

区間 $- 6 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 6 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $81$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 81$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.4

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $224$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 偽

$- 6 < x < 0$ 真

$0 < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

$x < - 6$ 偽

$- 6 < x < 0$ 真

$0 < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 6 < x < 0$ または $x > 6$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例