微分積分学準備例

$x^{2} < 10 - 3 x$

ステップ 1

不等式の両辺に $3 x$ を足します。

$x^{2} + 3 x < 10$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 3 x = 10$

ステップ 3

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x^{2} + 3 x - 10 = 0$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $3$ です。

$- 2, 5$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 5) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 8

最終解は $(x - 2) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 5$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{2} < 10 - 3 \cdot - 8$

ステップ 10.1.3

左辺 $64$ は右辺 $34$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $- 5 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 5 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} < 10 - 3 \cdot 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $0$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} < 10 - 3 \cdot 4$

ステップ 10.3.3

左辺 $16$ は右辺 $- 2$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 < x < 2$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- 5, 2)$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例