微分積分学準備例

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{2}{x}$ を引きます。

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

ステップ 2

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

ステップ 2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

ステップ 2.4

$\frac{x + 3}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

ステップ 2.5

$- \frac{2}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

ステップ 2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.6.1

$\frac{x + 3}{x + 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

ステップ 2.6.2

$\frac{2}{x}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.6.3

$(x + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.8.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.8.5

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 2.8.6

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.8.6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 2.8.6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 0, 1, - 2, - 1$

ステップ 9

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (x + 1) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 9.2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9.2.4

最終解は $x (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

ステップ 11.1.3

左辺 $0.\overline{3}$ は右辺 $- 0.5$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1.5$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1.5$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $- 1.\overline{3}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

ステップ 11.3.3

左辺 $5$ は右辺 $- 4$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

ステップ 11.4.3

左辺 $2.\overline{3}$ は右辺 $4$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.5

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.5.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.5.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

ステップ 11.5.3

左辺 $1.4$ は右辺 $0.5$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 \leq x < - 1$ または $0 < x \leq 1$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例