微分積分学準備例

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

最終解は $x (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3, - 1$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 84$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

${(- 0.5)}^{3} - 2 {(- 0.5)}^{2} - 3 \cdot - 0.5 < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $0.875$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{3} - 2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 < 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $126$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$0 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$0 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $0 < x < 3$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例