微分積分学準備例

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - (1) - 3$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 {(1)}^{2} - (1) - 3$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 3 \cdot 1 - (1) - 3$

ステップ 4.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 - (1) - 3$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 3 - 1 - 3$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 - 1 - 3$

ステップ 4.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$3 - 3$

ステップ 4.2.3

$3$ から $3$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$
	$1$	$4$

ステップ 6.5

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(4)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$
	$1$	$4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$
	$1$	$4$	$3$

ステップ 6.7

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$	$3$
	$1$	$4$	$3$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
		$1$	$4$	$3$
	$1$	$4$	$3$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 4 x + 3$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 4 x + 3$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x + 3$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) + (x + 1) (x + 3)$

$(x - 1) (x + 1) (x + 3)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} + 3 x^{2}) - x - 3 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x + 3) - (x + 3) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 8.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x + 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 10

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 11

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 12

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 13

最終解は $(x + 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, - 1, 1$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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