微分積分学準備例

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

ステップ 4.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

ステップ 4.1.5

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 + 1 + 8 - 12$

ステップ 4.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$4 + 8 - 12$

ステップ 4.2.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 4.2.4

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

ステップ 6.5

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

ステップ 6.7

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(- 8)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

ステップ 6.9

結果 $(- 12)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(12)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

ステップ 8

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

ステップ 9.2

$- 2 x$ を $- 2 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$- 2 x$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

ステップ 9.2.2

$- 2 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

ステップ 9.2.3

$- 2 x$ を $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ で因数分解します。

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

ステップ 9.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

ステップ 9.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

ステップ 9.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 12$ を因数分解します。

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ステップ 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $1$ です。

$- 3, 4$

ステップ 9.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

ステップ 9.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 9.7

$x^{2} + 4$ を $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

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ステップ 9.7.1

$x^{2} + 4$ を $- 2 x (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 9.7.2

$x^{2} + 4$ を $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

ステップ 9.7.3

$x^{2} + 4$ を $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

ステップ 9.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

ステップ 9.9

たすき掛けを利用して $- 2 u + u^{2} - 3$ を因数分解します。

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ステップ 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 9.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

ステップ 9.10

因数分解。

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ステップ 9.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 9.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 11

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 11.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 11.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 11.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 11.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 11.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 11.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 12

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 13

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 14

最終解は $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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