微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 9}$

ステップ 1

$\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 9}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + x + 9 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.3

$1$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.4

$- 35$ を $- 1 (35)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (35)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$1$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$- 35$ を $- 1 (35)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (35)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{35}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{35})}{2}$

ステップ 2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{35})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{35})}{2}$

ステップ 2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$1$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

$- 35$ を $- 1 (35)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (35)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{35}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{35})}{2}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{35})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{35})}{2}$

ステップ 2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{35}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{35}}{2}$

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[\frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35}, \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}]$

集合の内包的記法：

${y | \frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35} \leq y \leq \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $[\frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35}, \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}], {y | \frac{56 - 2 \sqrt{679}}{35} \leq y \leq \frac{56 + 2 \sqrt{679}}{35}}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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