微分積分学準備例

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{9}{y^{2}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{9}{y^{2}} = x$ として書き換えます。

$\frac{9}{y^{2}} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{2}, 1$

ステップ 3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{2}$

ステップ 3.3

$\frac{9}{y^{2}} = x$ の各項に $y^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{9}{y^{2}} = x$ の各項に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$9 = x y^{2}$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $x y^{2} = 9$ として書き換えます。

$x y^{2} = 9$

ステップ 3.4.2

$x y^{2} = 9$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$x y^{2} = 9$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{9}{x}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{9}{x}$

ステップ 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{x}}$

ステップ 3.4.4

$\pm \sqrt{\frac{9}{x}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$\sqrt{\frac{9}{x}}$ を $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{x}}$

ステップ 3.4.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{x}}$

ステップ 3.4.4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}}$

ステップ 3.4.4.3

$\frac{3}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 3.4.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.4.4.1

$\frac{3}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 3.4.4.4.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 3.4.4.4.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 3.4.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.4.4.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 3.4.4.4.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 3.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 3.4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 3.4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

$y = - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ が $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(0, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.2

$\frac{3 \sqrt{x}}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{9}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ の定義域が $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ の範囲が $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$ は $f (x) = \frac{9}{x^{2}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{x}, - \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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