微分積分学準備例

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{8 x}{3 x - 7}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{8 y}{3 y - 7}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $3 y - 7$ を掛けます。

$(3 y - 7) (x) = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$3 y x - 7 x = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3 y - 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$3 y x - 7 x = \frac{8 y}{3 y - 7} (3 y - 7)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$3 y x - 7 x = 8 y$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $8 y$ を引きます。

$3 y x - 7 x - 8 y = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $7 x$ を足します。

$3 y x - 8 y = 7 x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $3 y x - 8 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $3 y x$ で因数分解します。

$y (3 x) - 8 y = 7 x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- 8 y$ で因数分解します。

$y (3 x) + y \cdot - 8 = 7 x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (3 x) + y \cdot - 8$ で因数分解します。

$y (3 x - 8) = 7 x$

ステップ 3.4.4

$y (3 x - 8) = 7 x$ の各項を $3 x - 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (3 x - 8) = 7 x$ の各項を $3 x - 8$ で割ります。

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$3 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{7 x}{3 x - 8}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ が $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{7 (\frac{8 x}{3 x - 7})}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

ステップ 5.2.3

$7$ と $\frac{8 x}{3 x - 7}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$3 \frac{8 x}{3 x - 7}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$3$ と $\frac{8 x}{3 x - 7}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{3 (8 x)}{3 x - 7} - 8}$

ステップ 5.2.4.1.2

$8$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8}$

ステップ 5.2.4.2

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8 \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.3

$- 8$ と $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} + \frac{- 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5

因数分解した形で $\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

$8$ を $24 x - 8 (3 x - 7)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1.1

$8$ を $24 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.1.2

$8$ を $- 8 (3 x - 7)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.1.3

$8$ を $8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x) + 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.4

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.5

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (0 + 7)}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.5.6

$0$ と $7$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 \cdot 7}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.4.6

$8$ に $7$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.5

$7$ に $8$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

ステップ 5.2.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

ステップ 5.2.7

$56$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$56$ を $56 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 (x)}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

ステップ 5.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

ステップ 5.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

ステップ 5.2.8

$3 x - 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

ステップ 5.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{7 x}{3 x - 8})$ の値を求めます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{8 (\frac{7 x}{3 x - 8})}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

ステップ 5.3.3

$8$ と $\frac{7 x}{3 x - 8}$ をまとめます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$3 \frac{7 x}{3 x - 8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$3$ と $\frac{7 x}{3 x - 8}$ をまとめます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{3 (7 x)}{3 x - 8} - 7}$

ステップ 5.3.4.1.2

$7$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7}$

ステップ 5.3.4.2

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ を掛けます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7 \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.3

$- 7$ と $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ をまとめます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} + \frac{- 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5

因数分解した形で $\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

$7$ を $21 x - 7 (3 x - 8)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1.1

$7$ を $21 x$ で因数分解します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.1.2

$7$ を $- 7 (3 x - 8)$ で因数分解します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.1.3

$7$ を $7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))$ で因数分解します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x) + 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.4

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.5

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (0 + 8)}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.5.6

$0$ と $8$ をたし算します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 \cdot 8}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.4.6

$7$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.5

$8$ に $7$ をかけます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

ステップ 5.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

ステップ 5.3.7

$56$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$56$ を $56 x$ で因数分解します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 (x)}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

ステップ 5.3.8

$3 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

ステップ 5.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ は $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$

微分積分学準備 例

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