微分積分学準備例

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ を方程式で書きます。

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $1 + \sqrt{1 + y} = x$ として書き換えます。

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + y}$ を ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

簡約します。

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

ステップ 3.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

ステップ 3.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

ステップ 3.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.4.3.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.4.3.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.4.3.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

ステップ 3.4.3.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

ステップ 3.4.3.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 3.5

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

ステップ 3.5.2

$x^{2} - 2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$y = x^{2} - 2 x + 0$

ステップ 3.5.2.2

$x^{2} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$y = x^{2} - 2 x$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ が $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ に書き換えます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.2

$\sqrt{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.3

$\sqrt{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.4

$\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.4.1

$\sqrt{1 + x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.4.2

$\sqrt{1 + x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.5

${\sqrt{1 + x}}^{2}$ を $1 + x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x}$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.1.5.5

簡約します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.3.3

$\sqrt{1 + x}$ と $\sqrt{1 + x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

ステップ 5.2.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

ステップ 5.2.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

ステップ 5.2.4

$2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

ステップ 5.2.4.2

$0$ と $2 \sqrt{1 + x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

ステップ 5.2.4.3

$2 \sqrt{1 + x}$ から $2 \sqrt{1 + x}$ を引きます。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.4

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} - 2 x)$ の値を求めます。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

ステップ 5.3.3

括弧を削除します。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

項を並べ替えます。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

ステップ 5.3.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

ステップ 5.3.4.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

ステップ 5.3.4.1.4

多項式を書き換えます。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

ステップ 5.3.4.1.5

$a = 1$ と $b = x$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

ステップ 5.3.5.2

$2$ と $- x$ を並べ替えます。

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ は $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

微分積分学準備 例

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