微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + 4}$

ステップ 5.3.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{8}$

ステップ 5.3.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (2)}$

ステップ 5.3.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(2, 0), (- 2, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

ステップ 8.3.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

ステップ 8.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

ステップ 8.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 8.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

ステップ 10

$1 \cdot x + 0$ を簡約します。

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ステップ 10.1

$1 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot x$

ステップ 10.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = x$

ステップ 11

$- 1 \cdot x + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot x$

ステップ 11.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x$

ステップ 12

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x, y = - x$

ステップ 13

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(2, 0), (- 2, 0)$

焦点： $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

偏心： $\sqrt{2}$

焦点のパラメータ： $\sqrt{2}$

漸近線： $y = x$ 、 $y = - x$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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