微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x) = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = \frac{- x}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

ステップ 2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- x) = - \frac{x}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 2.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

ステップ 2.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = - \frac{x}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f (- x) = - \frac{x}{- (x - 1) (- x - 1)}$

ステップ 2.6

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.9

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = - \frac{x}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

ステップ 2.10.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x) = - \frac{x}{1 (x - 1) (x + 1)}$

ステップ 2.10.3

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = - \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 3

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 3.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 3.2

$- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は偶関数ではありません。

関数は偶関数ではありません

ステップ 4

$f (- x) = - f (x)$ ならば関数は奇関数です。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ をかけます。

$- f (x) = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.2

$- \frac{x}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は奇関数です。

関数は奇関数です。

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例