微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$

ステップ 1

有理根検定を用いて $x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

ステップ 1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 15$

ステップ 1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 15$

ステップ 1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 1 \cdot 1 - 17 \cdot - 1 - 15$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 1 - 17 \cdot - 1 - 15$

ステップ 1.3.5

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- 2 - 17 \cdot - 1 - 15$

ステップ 1.3.6

$- 17$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 17 - 15$

ステップ 1.3.7

$- 2$ と $17$ をたし算します。

$15 - 15$

ステップ 1.3.8

$15$ から $15$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - x^{2} - 17 x - 15}{x + 1}$

ステップ 1.5

$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$17 x$

$15$

ステップ 1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$15$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$15$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 15 x - 15$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x - 15$

ステップ 1.6

$x^{3} - x^{2} - 17 x - 15$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - 2 x - 15)$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = (x + 1) ((x - 5) (x + 3))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = (x + 1) (x - 5) (x + 3)$

微分積分学準備 例

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