微分積分学準備例

$\sin (2 θ) = \cos (2 θ)$

ステップ 1

方程式の各項を $\cos (2 θ)$ で割ります。

$\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)} = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

ステップ 2

$\frac{\sin (2 θ)}{\cos (2 θ)}$ を $\tan (2 θ)$ に変換します。

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

ステップ 3

$\cos (2 θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\tan (2 θ) = \frac{\cos (2 θ)}{\cos (2 θ)}$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$\tan (2 θ) = 1$

ステップ 4

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$2 θ = \arctan (1)$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$2 θ = \frac{π}{4}$

ステップ 6

$2 θ = \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 θ = \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$θ = \frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{π}{8}$

ステップ 7

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$2 θ = π + \frac{π}{4}$

ステップ 8

$θ$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 8.1.2

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 8.1.4

$π \cdot 4$ と $π$ をたし算します。

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ステップ 8.1.4.1

$π$ と $4$ を並べ替えます。

$2 θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 8.1.4.2

$4 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$

ステップ 8.2

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

ステップ 8.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.3.2

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.3.2.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$θ = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{5 π}{8}$

ステップ 9

$\tan (2 θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 9.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 2 |}$

ステップ 9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{π}{2}$

ステップ 10

$\tan (2 θ)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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