微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x}{x + 4}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x}{x + 4}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x}{x + 4}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y}{y + 4}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{y}{y + 4} = x$ として書き換えます。

$\frac{y}{y + 4} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y + 4, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$y + 4, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y + 4$

ステップ 3.3

$\frac{y}{y + 4} = x$ の各項に $y + 4$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{y}{y + 4} = x$ の各項に $y + 4$ を掛けます。

$\frac{y}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y + 4} (y + 4) = x (y + 4)$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$y = x (y + 4)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$y = x y + x \cdot 4$

ステップ 3.3.3.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = x y + 4 x$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$y - x y = 4 x$

ステップ 3.4.2

$y$ を $y - x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y \cdot 1 - x y = 4 x$

ステップ 3.4.2.2

$y$ を $- x y$ で因数分解します。

$y \cdot 1 + y (- x) = 4 x$

ステップ 3.4.2.3

$y$ を $y \cdot 1 + y (- x)$ で因数分解します。

$y (1 - x) = 4 x$

ステップ 3.4.3

$y (1 - x) = 4 x$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$y (1 - x) = 4 x$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{4 x}{1 - x}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{4 x}{1 - x}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4 x}{1 - x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$ が $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x}{x + 4})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 (\frac{x}{x + 4})}{1 - (\frac{x}{x + 4})}$

ステップ 5.2.3

$4$ と $\frac{x}{x + 4}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{1 - \frac{x}{x + 4}}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4}}$

ステップ 5.2.4.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x + 4 - x}{x + 4}}$

ステップ 5.2.4.3

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{x - x + 4}{x + 4}}$

ステップ 5.2.4.4

因数分解した形で $\frac{x - x + 4}{x + 4}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{0 + 4}{x + 4}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{\frac{4 x}{x + 4}}{\frac{4}{x + 4}}$

ステップ 5.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

ステップ 5.2.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 (x)}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

ステップ 5.2.6.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{4 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{4}$

ステップ 5.2.6.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

ステップ 5.2.7

$x + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

ステップ 5.2.7.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 4}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{4 x}{1 - x})$ の値を求めます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{\frac{4 x}{1 - x}}{(\frac{4 x}{1 - x}) + 4}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x}{1 - x} + 4}$

ステップ 5.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x}{1 - x}$ を掛けます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 (1 - x)}{1 - x}}$

ステップ 5.3.4.3

項を並べ替えます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 x + 4 (1 - x)}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.4

因数分解した形で $\frac{4 x + 4 (1 - x)}{- x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

$4$ を $4 x + 4 (1 - x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.4.4.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x) + 4 (1 - x)}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.4.1.2

$4$ を $4 (x) + 4 (1 - x)$ で因数分解します。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.4.2

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 (0 + 1)}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.4.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.4.5

$4$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{4}{- x + 1}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{4}))$

ステップ 5.3.6

$\frac{- x + 1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

ステップ 5.3.7

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

ステップ 5.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{4 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{4}$

ステップ 5.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

ステップ 5.3.8

$\frac{x}{1 - x}$ に $- x + 1$ をかけます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

ステップ 5.3.9

$- x + 1$ と $1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

項を並べ替えます。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

ステップ 5.3.9.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

ステップ 5.3.9.3

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{4 x}{1 - x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$ は $f (x) = \frac{x}{x + 4}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{1 - x}$

微分積分学準備 例

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