微分積分学準備例

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

ステップ 1

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ の各項を $\sec (\frac{θ}{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ の各項を $\sec (\frac{θ}{2})$ で割ります。

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\sec (\frac{θ}{2})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{θ}{2})$ を書き換えます。

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

ステップ 1.3.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ で割ります。

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

ステップ 1.3.3

簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$\cos (\frac{θ}{2})$ を $1$ 乗します。

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

ステップ 1.3.3.2

$\cos (\frac{θ}{2})$ を $1$ 乗します。

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

ステップ 1.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

ステップ 1.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

ステップ 2

方程式を $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ として書き換えます。

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

ステップ 6

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

ステップ 7

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{θ}{2} = 0$

ステップ 7.3

分子を0に等しくします。

$θ = 0$

ステップ 7.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

ステップ 7.5

$θ$ について解きます。

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ステップ 7.5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

ステップ 7.5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$θ = 2 (2 π - 0)$

ステップ 7.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

$2 (2 π - 0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1.1

$2 π$ から $0$ を引きます。

$θ = 2 (2 π)$

ステップ 7.5.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = 4 π$

ステップ 7.6

$\cos (\frac{θ}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.6.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 7.6.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 7.7

$\cos (\frac{θ}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$\frac{θ}{2} = π$

ステップ 8.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

ステップ 8.4

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

ステップ 8.4.1.2

式を書き換えます。

$θ = 2 π$

ステップ 8.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

ステップ 8.6

$θ$ について解きます。

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ステップ 8.6.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

ステップ 8.6.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

ステップ 8.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$θ = 2 (2 π - π)$

ステップ 8.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.2.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$θ = 2 π$

ステップ 8.7

$\cos (\frac{θ}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 8.7.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 8.8

$\cos (\frac{θ}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$θ = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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