微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$

ステップ 1

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 2.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 2.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 2.1.3.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$1 - 3 + 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 2.1.3.5

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2 + 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 2.1.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 4 - 2$

ステップ 2.1.3.7

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.1.3.8

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2}{x - 1}$

ステップ 2.1.5

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$2$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x + 2$

ステップ 2.1.6

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

$x^{2} - 2 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 2 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i, 1 - i$

ステップ 2.5

最終解は $(x - 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 1 + i, 1 - i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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