微分積分学準備例

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1

簡約し、多項式を降順に並べ替え、デカルトの法則を利用します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x - 6)}^{2}$ を $(x - 6) (x - 6)$ に書き換えます。

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 6) (x - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.3.1.2

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.3.1.3

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.3.2

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 1.4

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

ステップ 1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

ステップ 1.5.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 1.6.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

ステップ 1.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

ステップ 1.6.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

ステップ 1.7

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ を展開します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.4

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.7.1

$x$ を移動させます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.8

$- 12$ に $4$ をかけます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.9

$4$ に $- 12$ をかけます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.10

$4$ に $36$ をかけます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

ステップ 1.8.1.11

$36$ に $4$ をかけます。

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

ステップ 1.8.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.2.1

$4 x^{3}$ から $12 x^{3}$ を引きます。

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

ステップ 1.8.2.2

$4 x^{2}$ から $48 x^{2}$ を引きます。

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

ステップ 1.8.2.3

$- 44 x^{2}$ と $36 x^{2}$ をたし算します。

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

ステップ 1.8.2.4

$- 48 x$ と $144 x$ をたし算します。

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

ステップ 2

正の根の可能な数を求めるために、係数の符号を見て、係数の符号が正から負、負から正に変化した回数を数えます。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

ステップ 3

高次の項から低次の項へ $2$ 符号の反転があるので、最大でも $2$ の正の根があります（デカルトの符号法則）。正の根の他の数は、根 $(2 - 2)$ の対を引くことで求めます。

正根： $2$ または $0$

ステップ 4

負の根の可能な数を求めるために、 $x$ を $- x$ に置き換えて符号の比較を繰り返します。

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.4

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.6

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.7

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.9

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

ステップ 5.10

$- 1$ に $96$ をかけます。

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

ステップ 6

高次の項から低次の項へ $2$ 符号の反転があるので、最大でも $2$ の負の根があります（デカルトの符号法則）。負の根の他の数は、根の対を引くことで求めます（例： $2 - 2$ ）。

負の根： $2$ または $0$

ステップ 7

正根の可能な数は $2$ または $0$ で、負根の可能な数は $2$ または $0$ です。

正根： $2$ または $0$

負の根： $2$ または $0$

微分積分学準備 例

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