微分積分学準備例

$(x - 5) (x - 2) (x + 1) > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

最終解は $(x - 5) (x - 2) (x + 1) > 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 2, - 1$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) - 5) ((- 4) - 2) ((- 4) + 1) > 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 162$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.2

区間 $- 1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- 1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) - 5) ((0) - 2) ((0) + 1) > 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $10$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.3

区間 $2 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $2 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) - 5) ((4) - 2) ((4) + 1) > 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 10$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$((8) - 5) ((8) - 2) ((8) + 1) > 0$

ステップ 7.4.3

左辺 $162$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 2$ 真

$2 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 2$ 真

$2 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 2$ または $x > 5$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- 1, 2) \cup (5, \infty)$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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