微分積分学準備例

$y = x \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = x \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ として書き換えます。

$x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(x \sqrt{4 - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

${(x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

積の法則を $x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} {(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.3

簡約します。

$x^{2} (4 - x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.4

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.4.2

並べ替えます。

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ステップ 1.2.3.2.1.4.2.1

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$4 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \cdot x^{2} - x^{2} x^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 x^{2} - (x^{2} x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{2} - x^{2 + 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{2} - x^{4} = 0^{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x^{2} - x^{4} = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.4.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.4.1.1

$x^{2}$ を $4 x^{2} - x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.1.1.1

$x^{2}$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \cdot 4 - x^{4} = 0$

ステップ 1.2.4.1.1.2

$x^{2}$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2})$ で因数分解します。

$x^{2} (4 - x^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (2^{2} - x^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.1.3

因数分解。

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ステップ 1.2.4.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x$ です。

$x^{2} ((2 + x) (2 - x)) = 0$

ステップ 1.2.4.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (2 + x) (2 - x) = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 1.2.4.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2.4.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.4.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.4.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.4.4

$2 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.4.1

$2 + x$ が $0$ に等しいとします。

$2 + x = 0$

ステップ 1.2.4.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.4.5

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.5.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 1.2.4.5.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 1.2.4.5.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.2.4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.2.4.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 1.2.4.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.5.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 1.2.4.6

最終解は $x^{2} (2 + x) (2 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(0, 0), (- 2, 0), (2, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = (0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 0 \sqrt{4 - 0^{2}}$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = (0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$(0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 \sqrt{4 - 0}$

ステップ 2.2.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$y = 0 \sqrt{4 + 0}$

ステップ 2.2.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 \sqrt{4}$

ステップ 2.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = 0 \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.3.6

$0$ に $2$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, 0)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(0, 0), (- 2, 0), (2, 0)$

y切片： $(0, 0)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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