微分積分学準備例

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

ステップ 1

項を再分類します。

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 2

$32$ を $64 x - 32$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$32$ を $64 x$ で因数分解します。

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 2.2

$32$ を $- 32$ で因数分解します。

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 2.3

$32$ を $32 (2 x) + 32 (- 1)$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 3

$x^{2}$ を $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 3.2

$x^{2}$ を $- 13 x^{3}$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2}$

ステップ 3.3

$x^{2}$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$

ステップ 3.5

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6)$

ステップ 4

因数分解。

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ステップ 4.1

群による因数分解。

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ステップ 4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1.1

$- 13$ を $- 13 x$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 (x) + 6)$

ステップ 4.1.1.2

$- 13$ を $- 1$ プラス $- 12$ に書き換える

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6)$

ステップ 4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6)$

ステップ 4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6)$

ステップ 4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1))$

ステップ 4.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6))$

ステップ 4.2

不要な括弧を削除します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

ステップ 5

$2 x - 1$ を $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$2 x - 1$ を $32 (2 x - 1)$ で因数分解します。

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

ステップ 5.2

$2 x - 1$ を $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ で因数分解します。

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$

ステップ 5.3

$2 x - 1$ を $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ で因数分解します。

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6))$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6)$

ステップ 7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6)$

ステップ 7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6)$

ステップ 7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6)$

ステップ 8

$- 6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2})$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

因数分解した形で $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を書き換えます。

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ステップ 10.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を因数分解します。

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ステップ 10.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 10.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

ステップ 10.1.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 10.1.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 10.1.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 10.1.1.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

ステップ 10.1.1.3.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$- 8 - 24 + 32$

ステップ 10.1.1.3.5

$- 8$ から $24$ を引きます。

$- 32 + 32$

ステップ 10.1.1.3.6

$- 32$ と $32$ をたし算します。

$0$

ステップ 10.1.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

ステップ 10.1.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 10.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

ステップ 10.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

ステップ 10.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 10.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 10.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

ステップ 10.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 10.1.1.5.7

被除数 $- 8 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 10.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

ステップ 10.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 x^{2} - 16 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

ステップ 10.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

ステップ 10.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

ステップ 10.1.1.5.12

被除数 $16 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

ステップ 10.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

ステップ 10.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 x + 32$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

ステップ 10.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

ステップ 10.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 10.1.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16))$

ステップ 10.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 10.1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

ステップ 10.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 10.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

ステップ 10.1.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2})$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2}$

微分積分学準備 例

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