微分積分学準備例

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x (x + 10)) = 3$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) = 3$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) = 3$

ステップ 1.3.2

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (x^{2} + 10 x) = 3$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{3}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} + 10 x) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3} = x^{2} + 10 x$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{2} + 10 x = e^{3}$ として書き換えます。

$x^{2} + 10 x = e^{3}$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $e^{3}$ を引きます。

$x^{2} + 10 x - e^{3} = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = 10$ 、および $c = - e^{3}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$100 + 4 e^{3}$ を $2^{2} (25 + e^{3})$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1.3.1

$4$ を $100$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3.2

$4$ を $4 e^{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3.3

$4$ を $4 (25) + 4 (e^{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$

ステップ 4.5.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$ を簡約します。

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{3}}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{3}}$

ステップ 5

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$ が真にならない解を除外します。

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

10進法形式：

$x = 1.71457645 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例