微分積分学準備例

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, x + 2, 2$

ステップ 1.2

Since $x, x + 2, 2$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

$x, x + 2, 2$ の最小公倍数を求めるステップ：

1. 数値部分 $1, 1, 2$ の最小公倍数を求めます。

2. 変数部分 $x^{1}$ の最小公倍数を求めます。

3. 複合変数部分 $x + 2$ の最小公倍数を求めます。

4. 各最小公倍数をかけます。

ステップ 1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.5

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 1.6

$1, 1, 2$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 1.7

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x^{1} = x$

$x$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.8

$x^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x$

ステップ 1.9

$x + 2$ の因数は $x + 2$ そのものです。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.10

$x + 2$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x + 2$

ステップ 1.11

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$2 x (x + 2)$

ステップ 2

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ の各項に $2 x (x + 2)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ の各項に $2 x (x + 2)$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (2 x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.2

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$2 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.4

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x + 4 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x + 4 + 2 \frac{1}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.7

$2$ と $\frac{1}{x + 2}$ をまとめます。

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.8

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.8.1

$x + 2$ を $x (x + 2)$ で因数分解します。

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.8.2

共通因数を約分します。

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.1.8.3

式を書き換えます。

$2 x + 4 + 2 x = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.2.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ を $2 x (x + 2)$ で因数分解します。

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

ステップ 2.3.1.2

共通因数を約分します。

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

ステップ 2.3.1.3

式を書き換えます。

$4 x + 4 = x (x + 2)$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 2$

ステップ 2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 2$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} + 2 x = 4 x + 4$

ステップ 3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 4 x = 4$

ステップ 3.2.2

$2 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x = 4$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

10進法形式：

$x = 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

微分積分学準備 例

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