微分積分学準備例

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arctan (1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.3

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.4.3

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

ステップ 3.4.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π \cdot 4}{12}$

ステップ 3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - 4 π}{12}$

ステップ 3.6.3

$3 π$ から $4 π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{12}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{12}$

ステップ 4

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

ステップ 5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

ステップ 5.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (- \frac{π}{12})$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 (- \frac{π}{12})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{π}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = 2 \frac{- π}{12}$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ を $12$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{- π}{2 (6)}$

ステップ 5.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 6}$

ステップ 5.2.1.1.4

式を書き換えます。

$x = \frac{- π}{6}$

ステップ 5.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 6

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π + \frac{π}{4}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.1.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 7.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 7.1.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{4}$

ステップ 7.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.2.2

$\frac{5 π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.2.3

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.4.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.4.3

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.4.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

ステップ 7.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

ステップ 7.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.6.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 4}{12}$

ステップ 7.2.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 4 π}{12}$

ステップ 7.2.6.3

$15 π$ から $4 π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{11 π}{12}$

ステップ 7.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

ステップ 7.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

ステップ 7.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{11 π}{12}$

ステップ 7.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.2.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{11 π}{2 (6)}$

ステップ 7.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{11 π}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.4.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 8

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 2$

ステップ 8.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$2 π$

ステップ 9

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 9.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 9.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.3

分数をまとめます。

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ステップ 9.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 9.4

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 9.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 10

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

答えをまとめます。

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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