微分積分学準備例

$x^{6} - 8 x^{3} - 9 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} - 9 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{3}$ とします。 $u$ を $x^{3}$ に代入します。

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 8 u - 9$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 9$ で、その和が $- 8$ です。

$- 9, 1$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u + 1) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$(x^{3} - 9) (x^{3} + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} - 9 = 0$

$x^{3} + 1 = 0$

ステップ 3

$x^{3} - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{3} - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 9 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{3} - 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{3} = 9$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{9}$

ステップ 4

$x^{3} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{3} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{3} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{3} + 1 = 0$

ステップ 4.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 1^{3} = 0$

ステップ 4.2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 4.2.3.3

簡約します。

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ステップ 4.2.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

ステップ 4.2.3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

ステップ 4.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 4.2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.2.6

$x^{2} - x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.6.1

$x^{2} - x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 4.2.6.2

$x$ について $x^{2} - x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3

簡約します。

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ステップ 4.2.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.2.3.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.7

最終解は $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

最終解は $(x^{3} - 9) (x^{3} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt[3]{9}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

微分積分学準備 例

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