微分積分学準備例

$\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x - h}{r})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}, \frac{x - h}{r})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{x - h}{r}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$ です。

$\sqrt{1 - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x - h}{r})}^{2}}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x - h}{r}$ です。

$\sqrt{(1 + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x - h}{r}) (1 - \frac{x - h}{r})}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x - h}{r})}$

ステップ 3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x - h}{r})}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - (x - h)}{r}}$

ステップ 3.5

因数分解した形で $\frac{r - (x - h)}{r}$ を書き換えます。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x - - h}{r}}$

ステップ 3.5.2

$- - h$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + 1 h}{r}}$

ステップ 3.5.2.2

$h$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{r + x - h}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

ステップ 4

$\frac{r + x - h}{r}$ に $\frac{r - x + h}{r}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r \cdot r}}$

ステップ 5

$r$ に $r$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}}$

ステップ 6

$\frac{(r + x - h) (r - x + h)}{r^{2}}$ を ${(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))$ に書き換えます。

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ステップ 6.1

$(r + x - h) (r - x + h)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2}}}$

ステップ 6.2

$r^{2}$ から完全累乗 $r^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}}$

ステップ 6.3

分数 $\frac{1^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}{r^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((r + x - h) (r - x + h))}$

ステップ 7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{r} \sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$

ステップ 8

$\frac{1}{r}$ と $\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(r + x - h) (r - x + h)}}{r}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例