微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 14 x + 49}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 14 x + 7^{2}}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 7$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 7)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{B}{x + 7}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x + 7)}^{2}$ です。

$\frac{x^{2} {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

ステップ 1.5

${(x + 7)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

ステップ 1.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{(A) {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

${(x + 7)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{A {(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

ステップ 1.6.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = A + \frac{(B) {(x + 7)}^{2}}{x + 7}$

ステップ 1.6.2

${(x + 7)}^{2}$ と $x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$x + 7$ を $(B) {(x + 7)}^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} = A + \frac{(x + 7) (B (x + 7))}{x + 7}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{2} = A + \frac{(x + 7) (B (x + 7))}{(x + 7) \cdot 1}$

ステップ 1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = A + \frac{(x + 7) (B (x + 7))}{(x + 7) \cdot 1}$

ステップ 1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = A + \frac{B (x + 7)}{1}$

ステップ 1.6.2.2.4

$B (x + 7)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = A + B (x + 7)$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} = A + B x + B \cdot 7$

ステップ 1.6.4

$7$ を $B$ の左に移動させます。

$x^{2} = A + B x + 7 B$

ステップ 1.7

$A$ と $B x$ を並べ替えます。

$x^{2} = B x + A + 7 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + 7 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B$

$0 = A + 7 B$

$0 = B$

$0 = A + 7 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $B = 0$ として書き換えます。

$B = 0$

$0 = A + 7 B$

ステップ 3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = A + 7 B$ の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$0 = A + 7 (0)$

$B = 0$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$A + 7 (0)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$0 = A + 0$

$B = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

$A$ と $0$ をたし算します。

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

ステップ 3.3

方程式を $A = 0$ として書き換えます。

$A = 0$

$B = 0$

ステップ 3.4

連立方程式を解きます。

$A = 0 B = 0$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = 0, B = 0$

ステップ 4

$\frac{A}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{B}{x + 7}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{0}{{(x + 7)}^{2}} + \frac{0}{x + 7}$

微分積分学準備 例

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