微分積分学準備例

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 4.2

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 7.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.2

$\sin (x)$ を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.2.1

$\sin (x)$ を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.2.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.2

$\sin (x)$ と $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.4

まとめる。

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.5

$\sin (x)$ と ${\sin (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.1

$\sin (x)$ を $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.2.1

$\sin (x)$ を $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

ステップ 8.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

ステップ 8.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 8.6

$1 + \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 9

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

ステップ 10

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 10.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

ステップ 10.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 11.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 12

分数をたし算します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 12.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 14

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ は公式です

微分積分学準備 例

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