微分積分学準備例

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ と ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ を ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

ステップ 2.2.3

$k$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

ステップ 2.2.5

$k$ から $k$ を引きます。

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = \frac{2}{3}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $1$ を $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ に代入します。

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

ステップ 3.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5.2

式を書き換えます。

$a = 4 \cdot 1$

ステップ 3.2.6

$4$ に $1$ をかけます。

$a = 4$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 5.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.3.2

$3$ を $3^{8}$ で因数分解します。

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.4

$2$ を $8$ 乗します。

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.5

$3$ を $7$ 乗します。

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $256$ をかけます。

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.8

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2187}{2187}$ を掛けます。

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.9

$3$ と $\frac{2187}{2187}$ をまとめます。

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$3$ に $2187$ をかけます。

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.4.11.2

$6561$ から $256$ を引きます。

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

ステップ 5.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

ステップ 5.6

$\frac{6305}{2187}$ を $1$ で割ります。

$4 (\frac{6305}{2187})$

ステップ 5.7

$4 (\frac{6305}{2187})$ を掛けます。

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ステップ 5.7.1

$4$ と $\frac{6305}{2187}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

ステップ 5.7.2

$4$ に $6305$ をかけます。

$\frac{25220}{2187}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{25220}{2187}$

10進法形式：

$11.53177869 \dots$

帯分数形：

$11 \frac{1163}{2187}$

微分積分学準備 例

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