微分積分学準備例

$2 x^{2} + 8 y^{2} = 16$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $16$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{2 x^{2}}{16} + \frac{8 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{8 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{8 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{8 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{8 - 2^{1}}$

ステップ 5.3.4.5

指数を求めます。

$\sqrt{8 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{8 - 2}$

ステップ 5.3.5.2

$8$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{6}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 + \sqrt{6}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

$(\sqrt{6}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0 - (\sqrt{6}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

$(- \sqrt{6}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{8 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{8 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{8 - 2^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{8 - 2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.7

$8$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{6}$ と $\sqrt{2}$ を単一根にまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{6}{2}}}{2}$

ステップ 8.3.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{\frac{3}{1}}}{2}$

ステップ 8.3.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

偏心： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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