微分積分学準備例

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 3, 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{144 + 25}$

ステップ 5.3.3

$144$ と $25$ をたし算します。

$\sqrt{169}$

ステップ 5.3.4

$169$ を $13^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{13^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$13$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(9, 2)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 15, 2)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(9, 2), (- 15, 2)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(10, 2)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 16, 2)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(10, 2), (- 16, 2)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

ステップ 8.3.3

$144$ と $25$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

ステップ 8.3.4

$169$ を $13^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{13}{12}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{5^{2}}{13}$

ステップ 9.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{13}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

ステップ 11.2

$\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{5}{12}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

ステップ 11.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

ステップ 11.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

ステップ 11.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 11.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

ステップ 11.2.5.2

$5$ と $8$ をたし算します。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

ステップ 12.2

$- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{5}{12}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

ステップ 12.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1.4.1

$- \frac{5}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

ステップ 12.2.1.4.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

ステップ 12.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

ステップ 12.2.1.4.4

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

ステップ 12.2.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.5.1

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

ステップ 12.2.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

ステップ 12.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 12.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

ステップ 12.2.5.2

$- 5$ と $8$ をたし算します。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 3, 2)$

頂点： $(9, 2), (- 15, 2)$

焦点： $(10, 2), (- 16, 2)$

偏心： $\frac{13}{12}$

焦点のパラメータ： $\frac{25}{13}$

漸近線： $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ 、 $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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