微分積分学準備例

{(sin (x) + cos (x))}^{2}

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は

{(a + b)}^{n} = n \sum k = 0 n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

2 \sum k = 0 \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(sin (x))}^{2 - k} \cdot {(cos (x))}^{k}

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(\cos (x))}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(sin (x))}^{2 - 0} \cdot {cos}^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(sin (x))}^{2 - 1} \cdot {cos}^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(sin (x))}^{2 - 2} \cdot {cos}^{2} (x)

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot \cos^{0} (x) + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot \cos^{1} (x) + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot \cos^{2} (x)$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

1 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{0} (x) + 2 \cdot {sin}^{1} (x) \cdot {cos}^{1} (x) + 1 \cdot {sin}^{0} (x) \cdot {cos}^{2} (x)

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

ステップ 4

多項式の結果を簡約します。

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ステップ 4.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1.1

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ を

1 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{0} (x) + 2 \cdot {sin}^{1} (x) \cdot {cos}^{1} (x) + 1 \cdot {sin}^{0} (x) \cdot {cos}^{2} (x)

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1.1

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ を

1 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{0} (x)

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot \cos^{0} (x)$ で因数分解します。

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x)) + 2 \cdot {sin}^{1} (x) \cdot {cos}^{1} (x) + 1 \cdot {sin}^{0} (x) \cdot {cos}^{2} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

ステップ 4.1.1.2

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ を

2 \cdot {sin}^{1} (x) \cdot {cos}^{1} (x)

$2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot \cos^{1} (x)$ で因数分解します。

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x)) + {sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)) + 1 \cdot {sin}^{0} (x) \cdot {cos}^{2} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

ステップ 4.1.1.3

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ を

1 \cdot {sin}^{0} (x) \cdot {cos}^{2} (x)

$1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x)) + {sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)) + {sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {cos}^{2} (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

ステップ 4.1.1.4

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ を

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x)) + {sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (2 \cdot sin (x) \cdot cos (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$ で因数分解します。

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)) + {sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {cos}^{2} (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$

ステップ 4.1.1.5

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x)

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x)$ を

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)) + {sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {cos}^{2} (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)) + \sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + 1 \cdot {cos}^{2} (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) + 1 \cdot {cos}^{2} (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x))$

ステップ 4.1.2

1 \cdot {cos}^{2} (x)

$1 \cdot \cos^{2} (x)$ を移動させます。

{sin}^{0} (x) {cos}^{0} (x) (1 \cdot {sin}^{2} (x) + 1 \cdot {cos}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x))

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot \sin^{2} (x) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.1.3

$1$ を

$1 \cdot \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 \cdot \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.1.4

$1$ を

$1 \cdot \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.1.5

$1$ を

$1 (\sin^{2} (x)) + 1 (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{0} (x) \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.3

項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ にべき乗するものは

$1$ となります。

$1 \cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.3.2

式を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\cos^{0} (x)$ に

$1$ をかけます。

$\cos^{0} (x) (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.3.2.2

$0$ にべき乗するものは

$1$ となります。

$1 (1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x))$

ステップ 4.3.2.3

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ に

$1$ をかけます。

$1 \cdot 1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$1$ に

$1$ をかけます。

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$

ステップ 4.3.3.2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$1 + \sin (2 x)$

微分積分学準備 例

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