微分積分学準備例

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、

$2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は

$x (x^{2} + 1)$ です。

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.1.2

$A (x^{2} + 1)$ を

$1$ で割ります。

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.3

$A$ に

$1$ をかけます。

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5.4.2

$(B x + C) (x)$ を

$1$ で割ります。

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

ステップ 1.5.5

分配則を当てはめます。

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

ステップ 1.5.6

指数を足して

$x$ に

$x$ を掛けます。

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ステップ 1.5.6.1

$x$ を移動させます。

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 1.5.6.2

$x$ に

$x$ をかけます。

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.6

$A$ を移動させます。

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から

$x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から

$x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 2.3

式の両辺から

$x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を

$C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

ステップ 3.2

方程式を

$A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

ステップ 3.3

各方程式の

$A$ のすべての発生を

$1$ で置き換えます。

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ステップ 3.3.1

$0 = A + B$ の

$A$ のすべての発生を

$1$ で置き換えます。

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

括弧を削除します。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 3.4

$0 = 1 + B$ の

$B$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を

$1 + B = 0$ として書き換えます。

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 3.5

連立方程式を解きます。

$B = - 1 A = 1 C = 0$

ステップ 3.6

すべての解をまとめます。

$B = - 1, A = 1, C = 0$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を

$A$ 、

$B$ 、および

$C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

括弧を削除します。

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 5.2

$(- 1) \cdot x$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

ステップ 5.3

$- 1 x$ を

$- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$

微分積分学準備 例

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