微分積分学準備例

5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}

$5^{x - 2} = 3^{3 x + 2}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

ln (5^{x - 2}) = ln (3^{3 x + 2})

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3^{3 x + 2})$

ステップ 2

x - 2

$x - 2$ を対数の外に移動させて、

ln (5^{x - 2})

$\ln (5^{x - 2})$ を展開します。

(x - 2) ln (5) = ln (3^{3 x + 2})

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3^{3 x + 2})$

ステップ 3

3 x + 2

$3 x + 2$ を対数の外に移動させて、

ln (3^{3 x + 2})

$\ln (3^{3 x + 2})$ を展開します。

(x - 2) ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

ステップ 4

x

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

(x - 2) ln (5)

$(x - 2) \ln (5)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

書き換えます。

0 + 0 + (x - 2) ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$0 + 0 + (x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

ステップ 4.1.2

0を加えて簡約します。

(x - 2) ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$(x - 2) \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

x ln (5) - 2 ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

x ln (5) - 2 ln (5) = (3 x + 2) ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = (3 x + 2) \ln (3)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

x ln (5) - 2 ln (5) = 3 x ln (3) + 2 ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = 3 x \ln (3) + 2 \ln (3)$

ステップ 4.3

方程式の両辺から

3 x ln (3)

$3 x \ln (3)$ を引きます。

x ln (5) - 2 ln (5) - 3 x ln (3) = 2 ln (3)

$x \ln (5) - 2 \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3)$

ステップ 4.4

方程式の両辺に

2 ln (5)

$2 \ln (5)$ を足します。

x ln (5) - 3 x ln (3) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x \ln (5) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

ステップ 4.5

x

$x$ を

x ln (5) - 3 x ln (3)

$x \ln (5) - 3 x \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

x

$x$ を

x ln (5)

$x \ln (5)$ で因数分解します。

x (ln (5)) - 3 x ln (3) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5)) - 3 x \ln (3) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

ステップ 4.5.2

x

$x$ を

- 3 x ln (3)

$- 3 x \ln (3)$ で因数分解します。

x (ln (5)) + x (- 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

ステップ 4.5.3

x

$x$ を

x (ln (5)) + x (- 3 ln (3))

$x (\ln (5)) + x (- 3 \ln (3))$ で因数分解します。

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$

ステップ 4.6

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ の各項を

ln (5) - 3 ln (3)

$\ln (5) - 3 \ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.6.1

x (ln (5) - 3 ln (3)) = 2 ln (3) + 2 ln (5)

$x (\ln (5) - 3 \ln (3)) = 2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ の各項を

ln (5) - 3 ln (3)

$\ln (5) - 3 \ln (3)$ で割ります。

\frac{x (ln (5) - 3 ln (3))}{ln (5) - 3 ln (3)} = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

ステップ 4.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

ln (5) - 3 ln (3)

$\ln (5) - 3 \ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{x (ln (5) - 3 ln (3))}{ln (5) - 3 ln (3)} = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$\frac{x (\ln (5) - 3 \ln (3))}{\ln (5) - 3 \ln (3)} = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

ステップ 4.6.2.1.2

x

$x$ を

1

$1$ で割ります。

x = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

x = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

x = \frac{2 ln (3)}{ln (5) - 3 ln (3)} + \frac{2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$x = \frac{2 \ln (3)}{\ln (5) - 3 \ln (3)} + \frac{2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

ステップ 4.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.6.3.1

公分母の分子をまとめます。

x = \frac{2 ln (3) + 2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

ステップ 4.6.3.2

2

$2$ を

2 ln (3) + 2 ln (5)

$2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.3.2.1

2

$2$ を

2 ln (3)

$2 \ln (3)$ で因数分解します。

x = \frac{2 ln (3) + 2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

ステップ 4.6.3.2.2

2

$2$ を

2 ln (5)

$2 \ln (5)$ で因数分解します。

x = \frac{2 ln (3) + 2 ln (5)}{ln (5) - 3 ln (3)}

$x = \frac{2 \ln (3) + 2 \ln (5)}{\ln (5) - 3 \ln (3)}$

ステップ 4.6.3.2.3

2

$2$ を

2 ln (3) + 2 ln (5)

$2 \ln (3) + 2 \ln (5)$ で因数分解します。

x = \frac{2 (ln (3) + ln (5))}{ln (5) - 3 ln (3)}