微分積分学準備例

$3^{2 x} + 3^{x + 1} - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$3^{x + 1}$ を $3^{x} \cdot 3^{1}$ に書き換えます。

$3^{2 x} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0$

ステップ 1.2

$3^{2 x}$ を ${(3^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(3^{x})}^{2} + 3^{x} \cdot 3 - 4 = 0$

ステップ 1.3

$u = 3^{x}$ とします。 $u$ を $3^{x}$ に代入します。

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ステップ 1.3.1

指数を求めます。

$u^{2} + u \cdot 3 - 4 = 0$

ステップ 1.3.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

ステップ 1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} + 3 u - 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 4) = 0$

ステップ 1.5

$u$ のすべての発生を $3^{x}$ で置き換えます。

$(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} + 4 = 0$

ステップ 3

$3^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3^{x} = 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

ステップ 3.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x \ln (3) = 0$

ステップ 3.2.5

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 3.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

$3^{x} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3^{x} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} + 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3^{x} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3^{x} = - 4$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (- 4)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 4)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$3^{x} = - 4$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(3^{x} - 1) (3^{x} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0$

微分積分学準備 例

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