微分積分学準備例

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$7^{2 x}$ を

${(7^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(7^{x})}^{2} + 7^{x} - 6 = 0$

ステップ 1.2

$u = 7^{x}$ とします。

$u$ を

$7^{x}$ に代入します。

$u^{2} + u - 6 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して

$u^{2} + u - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$- 6$ で、その和が

$1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 3) = 0$

$(u - 2) (u + 3) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を

$7^{x}$ で置き換えます。

$(7^{x} - 2) (7^{x} + 3) = 0$

$(7^{x} - 2) (7^{x} + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$7^{x} - 2 = 0$

$7^{x} + 3 = 0$

ステップ 3

$7^{x} - 2$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$7^{x} - 2$ が

$0$ に等しいとします。

$7^{x} - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について

$7^{x} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に

$2$ を足します。

$7^{x} = 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7^{x}) = \ln (2)$

ステップ 3.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、

$\ln (7^{x})$ を展開します。

$x \ln (7) = \ln (2)$

ステップ 3.2.4

$x \ln (7) = \ln (2)$ の各項を

$\ln (7)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$x \ln (7) = \ln (2)$ の各項を

$\ln (7)$ で割ります。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

ステップ 4

$7^{x} + 3$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$7^{x} + 3$ が

$0$ に等しいとします。

$7^{x} + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について

$7^{x} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から

$3$ を引きます。

$7^{x} = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7^{x}) = \ln (- 3)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 3)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$7^{x} = - 3$ の解はありません

解がありません

解がありません

解がありません

ステップ 5

最終解は

$(7^{x} - 2) (7^{x} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (7)}$

10進法形式：

$x = 0.35620718 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$