微分積分学準備例

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

有理根検定を用いて

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は

$\frac{p}{q}$ の形をもち、

$p$ は定数の因数、

$q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

ステップ 1.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は

$0$ に等しいので、

$1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

ステップ 1.1.3.2

$1$ を

$3$ 乗します。

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

ステップ 1.1.3.3

$1$ を

$2$ 乗します。

$1 - 9 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 12$

ステップ 1.1.3.4

$- 9$ に

$1$ をかけます。

$1 - 9 + 20 \cdot 1 - 12$

ステップ 1.1.3.5

$1$ から

$9$ を引きます。

$- 8 + 20 \cdot 1 - 12$

ステップ 1.1.3.6

$20$ に

$1$ をかけます。

$- 8 + 20 - 12$

ステップ 1.1.3.7

$- 8$ と

$20$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 1.1.3.8

$12$ から

$12$ を引きます。

$0$

ステップ 1.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を

$x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12}{x - 1}$

ステップ 1.1.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ を

$x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、

$0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$20 x$

$12$

ステップ 1.1.5.2

被除数

$x^{3}$ の最高次項を除数

$x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$

ステップ 1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、

$x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

ステップ 1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

ステップ 1.1.5.7

被除数

$- 8 x^{2}$ の最高次項を除数

$x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

ステップ 1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、

$- 8 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$

ステップ 1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

ステップ 1.1.5.12

被除数

$12 x$ の最高次項を除数

$x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

ステップ 1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

ステップ 1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、

$12 x - 12$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

ステップ 1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$
										$0$

ステップ 1.1.5.16

余りが

$0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 8 x + 12$

ステップ 1.1.6

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して

$x^{2} - 8 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

たすき掛けを利用して

$x^{2} - 8 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$12$ で、その和が

$- 8$ です。

$- 6, - 2$

ステップ 1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) ((x - 6) (x - 2)) = 0$

ステップ 1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 3

$x - 1$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 1$ が

$0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

$x - 6$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 6$ が

$0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に

$6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 5

$x - 2$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 2$ が

$0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に

$2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

最終解は

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 6, 2$

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