微分積分学準備例

ln (x - 6) + ln (x + 7) = 1

$\ln (x - 6) + \ln (x + 7) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、

{log}_{b} (x) + {log}_{b} (y) = {log}_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

ln ((x - 6) (x + 7)) = 1

$\ln ((x - 6) (x + 7)) = 1$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って

(x - 6) (x + 7)

$(x - 6) (x + 7)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

ln (x (x + 7) - 6 (x + 7)) = 1

$\ln (x (x + 7) - 6 (x + 7)) = 1$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

ln (x \cdot x + x \cdot 7 - 6 (x + 7)) = 1

$\ln (x \cdot x + x \cdot 7 - 6 (x + 7)) = 1$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

ln (x \cdot x + x \cdot 7 - 6 x - 6 \cdot 7) = 1

$\ln (x \cdot x + x \cdot 7 - 6 x - 6 \cdot 7) = 1$

ln (x \cdot x + x \cdot 7 - 6 x - 6 \cdot 7) = 1

$\ln (x \cdot x + x \cdot 7 - 6 x - 6 \cdot 7) = 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

x

$x$ に

x

$x$ をかけます。

ln (x^{2} + x \cdot 7 - 6 x - 6 \cdot 7) = 1

$\ln (x^{2} + x \cdot 7 - 6 x - 6 \cdot 7) = 1$

ステップ 1.3.1.2

7

$7$ を

x

$x$ の左に移動させます。

ln (x^{2} + 7 \cdot x - 6 x - 6 \cdot 7) = 1

$\ln (x^{2} + 7 \cdot x - 6 x - 6 \cdot 7) = 1$

ステップ 1.3.1.3

- 6

$- 6$ に

7

$7$ をかけます。

ln (x^{2} + 7 x - 6 x - 42) = 1

$\ln (x^{2} + 7 x - 6 x - 42) = 1$

ln (x^{2} + 7 x - 6 x - 42) = 1

$\ln (x^{2} + 7 x - 6 x - 42) = 1$

ステップ 1.3.2

7 x

$7 x$ から

6 x

$6 x$ を引きます。

ln (x^{2} + x - 42) = 1

$\ln (x^{2} + x - 42) = 1$

ln (x^{2} + x - 42) = 1

$\ln (x^{2} + x - 42) = 1$

ln (x^{2} + x - 42) = 1

$\ln (x^{2} + x - 42) = 1$

ステップ 2

x

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

e^{ln (x^{2} + x - 42)} = e^{1}

$e^{\ln (x^{2} + x - 42)} = e^{1}$

ステップ 3

対数の定義を利用して

ln (x^{2} + x - 42) = 1

$\ln (x^{2} + x - 42) = 1$ を指数表記に書き換えます。

x

$x$ と

b

$b$ が正の実数で

b \neq 1

$b \neq 1$ ならば、

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ は

b^{y} = x

$b^{y} = x$ と同値です。

e^{1} = x^{2} + x - 42

$e^{1} = x^{2} + x - 42$

ステップ 4

x

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を

x^{2} + x - 42 = e^{1}

$x^{2} + x - 42 = e^{1}$ として書き換えます。

x^{2} + x - 42 = e

$x^{2} + x - 42 = e$

ステップ 4.2

方程式の両辺から

e

$e$ を引きます。

x^{2} + x - 42 - e = 0

$x^{2} + x - 42 - e = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

a = 1

$a = 1$ 、

b = 1

$b = 1$ 、および

c = - 42 - e

$c = - 42 - e$ を二次方程式の解の公式に代入し、

x

$x$ の値を求めます。

\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 42 - e))}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 42 - e))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 42 - e)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 42 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

- 4

$- 4$ に

1

$1$ をかけます。

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 42 - e)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 42 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

分配則を当てはめます。

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 42 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 42 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

- 4

$- 4$ に

- 42

$- 42$ をかけます。

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

$- 1$ に

$- 4$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6

$1$ と

$168$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{169 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{169 + 4 e}}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{169 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{169 + 4 e}}{2}$

ステップ 5

$\ln (x - 6) + \ln (x + 7) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{1 - \sqrt{169 + 4 e}}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1 - \sqrt{169 + 4 e}}{2}$

10進法形式：

$x = 6.20583938 \dots$

微分積分学準備 例

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