微分積分学準備例

$\frac{4}{x (x - 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x - 1)$ です。

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.4

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.4.2

$4$ を $1$ で割ります。

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$4 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.1.2

$A (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$4 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$4 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.5.1

共通因数を約分します。

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 1.5.5.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$4 = A x - A + (B) (x)$

$4 = A x - A + B x$

ステップ 1.6

$- A$ を移動させます。

$4 = A x + B x - A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = - 1 A$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

$0 = A + B$

$4 = - 1 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$4 = - 1 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $- 1 A = 4$ として書き換えます。

$- 1 A = 4$

$0 = A + B$

ステップ 3.1.2

$- 1 A = 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 1 A = 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 3.1.2.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = A + B$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

$A = - 4$

$0 = A + B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$0 = (- 4) + B$

$A = - 4$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

$0 = - 4 + B$

$A = - 4$

ステップ 3.3

$0 = - 4 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $- 4 + B = 0$ として書き換えます。

$- 4 + B = 0$

$A = - 4$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$B = 4$

$A = - 4$

$B = 4$

$A = - 4$

ステップ 3.4

連立方程式を解きます。

$B = 4 A = - 4$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$B = 4, A = - 4$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$

微分積分学準備 例

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