微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

ステップ 1

$\frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$ の分母を

$0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して

$x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$- 4$ で、その和が

$- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 1) = 0$

$(x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x - 4$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 4$ が

$0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に

$4$ を足します。

$x = 4$

$x = 4$

ステップ 2.4

$x + 1$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が

$0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 2.5

最終解は

$(x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1$

$x = 4, - 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる

$x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 1, 4}$

ステップ 4

値域はすべての有効な

$y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq - 1, 4}$

値域：

$(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

ステップ 6

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





















7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞











,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$