微分積分学準備例

\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を

1

$1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が

1

$1$ に等しいことが必要です。

\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数

h

$h$ は原点からのx補正値を、

k

$k$ は原点

a

$a$ からのy補正値を表します。

a = 8

$a = 8$

b = 6

$b = 6$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は

(h, k)

$(h, k)$ の形に従います。

h

$h$ と

k

$k$ の値に代入します。

(0, 0)

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離

c

$c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

8

$8$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{64 + {(6)}^{2}}

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

6

$6$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{64 + 36}

$\sqrt{64 + 36}$

ステップ 5.3.3

64

$64$ と

36

$36$ をたし算します。

\sqrt{100}

$\sqrt{100}$

ステップ 5.3.4

100

$100$ を

10^{2}

$10^{2}$ に書き換えます。

\sqrt{10^{2}}

$\sqrt{10^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

10

$10$

10

$10$

10

$10$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、

a

$a$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(8, 0)

$(8, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、

h

$h$ から

a

$a$ を引くことで求められます。

(h - a, k)

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(- 8, 0)

$(- 8, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

(8, 0), (- 8, 0)

$(8, 0), (- 8, 0)$

(8, 0), (- 8, 0)

$(8, 0), (- 8, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、

c

$c$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + c, k)

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(10, 0)

$(10, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、

h

$h$ から

c

$c$ を引くことで求められます。

(h - c, k)

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(- 10, 0)

$(- 10, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

(10, 0), (- 10, 0)

$(10, 0), (- 10, 0)$

(10, 0), (- 10, 0)

$(10, 0), (- 10, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

8

$8$ を

2

$2$ 乗します。

\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

ステップ 8.3.1.2

6

$6$ を

2

$2$ 乗します。

\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

ステップ 8.3.1.3

64

$64$ と

36

$36$ をたし算します。

\frac{\sqrt{100}}{8}

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

ステップ 8.3.1.4

100

$100$ を

10^{2}

$10^{2}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

ステップ 8.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

\frac{10}{8}

$\frac{10}{8}$

\frac{10}{8}

$\frac{10}{8}$

ステップ 8.3.2

10

$10$ と

8

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

2

$2$ を

10

$10$ で因数分解します。

\frac{2 (5)}{8}

$\frac{2 (5)}{8}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

2

$2$ を

8

$8$ で因数分解します。

\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{4}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{6^{2}}{10}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$6$ を

$2$ 乗します。

$\frac{36}{10}$

ステップ 9.3.2

$36$ と

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$2$ を

$36$ で因数分解します。

$\frac{2 (18)}{10}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$2$ を

$10$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{18}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{3}{4} x + 0$

ステップ 11

$\frac{3}{4} x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{3}{4} x$ と

$0$ をたし算します。

$y = \frac{3}{4} x$

ステップ 11.2

$\frac{3}{4}$ と

$x$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4}$

ステップ 12

$- \frac{3}{4} x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- \frac{3}{4} x$ と

$0$ をたし算します。

$y = - \frac{3}{4} x$

ステップ 12.2

$x$ と

$\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4}$

ステップ 12.3

$3$ を

$x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{3 x}{4}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{3 x}{4}, y = - \frac{3 x}{4}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心：

$(0, 0)$

頂点：

$(8, 0), (- 8, 0)$

焦点：

$(10, 0), (- 10, 0)$

偏心：

$\frac{5}{4}$

焦点のパラメータ：

$\frac{18}{5}$

漸近線：

$y = \frac{3 x}{4}$ 、

$y = - \frac{3 x}{4}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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