微分積分学準備例

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

ステップ 4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 12$

ステップ 4.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$8 - 12 - 4 \cdot 2 + 12$

ステップ 4.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$8 - 12 - 8 + 12$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$8$ から $12$ を引きます。

$- 4 - 8 + 12$

ステップ 4.2.2

$- 4$ から $8$ を引きます。

$- 12 + 12$

ステップ 4.2.3

$- 12$ と $12$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$
	$1$	$- 1$

ステップ 6.5

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$
	$1$	$- 1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$
	$1$	$- 1$	$- 6$

ステップ 6.7

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 12)$ の結果を被除数 $(12)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$	$- 12$
	$1$	$- 1$	$- 6$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
		$2$	$- 2$	$- 12$
	$1$	$- 1$	$- 6$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 1 x - 6$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - x - 6$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) + (x - 3) (x + 2)$

$(x - 2) (x - 3) (x + 2)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 8.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 10

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 11

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 12

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 13

最終解は $(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2, 2$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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