微分積分学準備例

sin (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

x

$x$ を取り出します。

2 x = arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は

- \frac{π}{3}

$- \frac{π}{3}$ です。

2 x = - \frac{π}{3}

$2 x = - \frac{π}{3}$

2 x = - \frac{π}{3}

$2 x = - \frac{π}{3}$

ステップ 3

2 x = - \frac{π}{3}

$2 x = - \frac{π}{3}$ の各項を

2

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

2 x = - \frac{π}{3}

$2 x = - \frac{π}{3}$ の各項を

2

$2$ で割ります。

\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に

$\frac{π}{3}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に

$3$ をかけます。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を

$π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

ステップ 5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.1

$2 π + \frac{π}{3} + π$ から

$2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

ステップ 5.2

$\frac{4 π}{3}$ の結果の角度は正で、

$2 π$ より小さく、

$2 π + \frac{π}{3} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5.3

$2 x = \frac{4 π}{3}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 x = \frac{4 π}{3}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$2$ を

$4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の

$b$ を

$2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$2$ の間の距離は

$2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 6.4.2

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.1

$π$ を

$- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + π$

ステップ 7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.3

分数をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$π$ と

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$6$ を

$π$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 7.4.2

$6 π$ から

$π$ を引きます。

$\frac{5 π}{6}$

ステップ 7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 8

$\sin (2 x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

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