微分積分学準備例

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$2 \cos^{2} (x) = 1$

ステップ 2

$2 \cos^{2} (x) = 1$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \cos^{2} (x) = 1$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を

$1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.2

$1$ のいずれの根は

$1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.4.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

各解を求め、

$x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は

$\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 7.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$2 π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 7.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1

$4$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 7.4.3.2

$8 π$ から

$π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 7.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$\cos (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 8

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は

$\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 8.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 8.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 8.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$2 π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 8.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.3.1

$4$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 8.4.3.2

$8 π$ から

$3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 8.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$\cos (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数

$n$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例